Mathématiques, grains de blé et coronavirus

Comment une seule personne pourrait-elle théoriquement contaminer la population entière du Québec? Explication de ce mystère mathématique à l’aide d’un jeu d’échecs… et de beaucoup de grains de blé.

Photo : Pixabay

Alors que nous sommes inondés de graphiques et de courbes exponentielles depuis le début de l’épidémie de COVID-19, je me suis rappelé une vieille légende que j’avais lue à l’université à propos du grand vizir Sissa ben Dahir, mathématicien indien du XIIIe siècle et inventeur présumé du jeu d’échecs.

J’ai lu et entendu plusieurs versions de cette légende au fil des années, comme celle d’Yves Boisvert il y a quelques jours. Permettez-moi de la paraphraser à mon tour.

Tellement heureux de l’invention du jeu d’échecs qui devenait de plus en plus populaire, le roi Shirham convoqua Sissa ben Dahir et lui annonça qu’il aimerait le récompenser.

« Que pourrions-nous vous offrir en cadeau pour cette merveilleuse invention ? », demanda le roi.

« Rien de plus facile, Votre Majesté, répondit ben Dahir. L’échiquier que j’ai inventé contient 64 cases. Pour la première case, j’aimerais que vous m’offriez un grain de blé. Pour la deuxième case, ce sera deux grains de blé, puis quatre grains pour la troisième case, huit grains pour la quatrième case, seize grains pour la cinquième et ainsi de suite jusqu’à la 64e case. »

Le roi, étonné, répondit : « C’est tout ? Tout cela me semble très modeste comme récompense, mais qu’il en soit ainsi ! »

Évidemment, le roi Shirham — comme bon nombre de personnes encore aujourd’hui — comprenait mal le comportement des courbes exponentielles et sous-estimait donc nettement le nombre de grains de blé qu’il venait de s’engager à donner. Pour la 64e et dernière case à elle seule, le roi devait en effet accorder à ben Dahir un total de 263 grains de blé, soit : 9 223 372 036 854 780 000 grains !

Mais comment est-ce possible?

Cet étonnement vient de la contre-intuitivité des croissances exponentielles. Regardons d’abord la première rangée de l’échiquier :

Après les huit cases qu’elle contient, la somme des grains de blé accumulés semble tout à fait modeste : 255 grains. En considérant que chaque grain pèse 0,8 gramme, il ne s’agit que d’environ 200 g de blé au total.

Toutefois, regardons la progression dans la deuxième rangée de l’échiquier :

Avec un total de 65 280 grains, nous avons maintenant une masse d’environ 52 kilogrammes (115 lbs). Donc, de la première à la deuxième rangée, nous sommes passés d’une simple poignée de grains à une masse équivalente à celle d’un être humain.

Et cette explosion continue à la troisième rangée :

Notre total de 52 kg de grains après deux rangées a soudainement grimpé à une masse de 6,7 tonnes (6685 kg) de grains. Et nous ne sommes qu’à la troisième des huit rangées !

Avançons maintenant jusqu’au bout de l’échiquier:

Le nombre total de grains s’élève finalement à 18,4 × 1019, ou 18,4 milliards de milliards de grains. Comment interpréter ce chiffre monstrueux ? Toujours en estimant à 0,8 gramme le poids d’un grain de blé, notre total dépasse la masse de l’astéroïde 433 Éros, que voici :

[Crédits: NASA/JPL/JHUAPL]
Éros est un astéroïde rocheux ayant un diamètre d’environ 17 kilomètres qui tourne autour du Soleil sur une orbite près de la planète Mars. Si par magie nous déposions Éros sur la surface de la Terre, il s’élèverait deux fois plus haut que le Mont Everest.

Évidemment, pour revenir à notre légende, nous présumons que le roi Shirham n’a jamais pu payer sa dette à ben Dahir…

Pourquoi raconter cette allégorie aujourd’hui ? Parce que, sans mesures d’urgence, la propagation d’un virus comme celui qui cause la COVID-19 suit aussi une courbe exponentielle. Supposons qu’une seule personne infectée transmette le virus à deux personnes au cours d’une journée (possiblement à son insu, car les personnes nouvellement infectées ne ressentent pas de symptômes avant plusieurs jours) . Quelques jours plus tard, ces deux personnes maintenant infectées le transmettent chacune à deux autres personnes qui, au fil des jours suivants, le transmettront à deux autres personnes, etc.

Sans mesures de contrôle et de confinement, le nombre de personnes nouvellement infectées doublerait en quelques jours. Puis redoublerait en quelques jours. Puis redoublerait encore.

Regardons notre échiquier et arrêtons-nous à la 23e case:

Pourquoi la 23e case? Parce que le total d’individus infectés atteindrait théoriquement 8,3 millions – soit approximativement la population entière du Québec.

À la 23e case.

Évidemment, tout ceci n’est qu’approximatif (combien de mains serrez-vous en moyenne dans une journée ? Combien de poignées de porte touchez-vous ?), mais il demeure tout de même que cette pandémie suit déjà des courbes exponentielles dans d’autres pays, et que le Québec et le Canada ne seront pas épargnés.

Les mesures actuelles mises en oeuvre par le gouvernement du Québec — la fermeture des écoles, salles de spectacles et autres lieux de rassemblement — peuvent paraître quelque peu draconiennes pour l’instant, mais les experts et scientifiques insistent sur le fait qu’elles sont nécessaires pour éviter un engorgement soudain et ingérable des hôpitaux et du système de santé public, ce qui serait catastrophique pour notre société.

C’est donc mathématique : écoutez les experts, lavez vos mains et isolez-vous autant que possible au cours des prochaines semaines. C’est ainsi que nous pourrons ralentir la propagation du virus et sauver des milliers de vies.

Vous avez des questions sur la COVID-19 ? Consultez ce site Web du gouvernement du Québec dédié au coronavirus.

Vous avez des symptômes associés à la maladie ? Appelez au 1 877 644-4545 ou consultez un professionnel de la santé.

Dans la même catégorie
Boutique Voir & L'actualité

Obtenez jusqu’à 40% de plus pour votre prochaine sortie

9 commentaires
Laisser un commentaire

Je connaissais aussi cette allégorie mathématique, si ce n’est que si la formule s’appliquait à la diffusion des virus, peu importe lequel, aucune mesure de confinement ne serait suffisante pour empêcher la propagation en sorte que 100% des êtres vivants seraient infectés en un rien de temps.

Cette démonstration mathématique établit que les fonctions ne s’appliquent heureusement pas de façon mécanique à la microbiologie ; le Covid-19 est un agent pathogène parmi d’autres. Il y a certains aspects particuliers des sciences de la vie qui font que ces agents peuvent à la fois prendre des vies et en même temps contribuer au prolongement de la vie.

Ainsi, si le virus était létal pour tous et si cette fonction mathématique s’appliquait : nous serions tous morts inéluctablement — peu importe les mesures prises -, en un rien de temps. Peut-être conviendrait-il d’apprendre des virus et de les comprendre — ce qui ferait progresser la science -, en quoi un virus peut-il quelquefois être un allié au lieu d’une menace ?

Cette approche prospective, proactive et conviviale nous permettrait probablement de perdre moins de temps dans toutes sortes de génuflexions dont l’utilité n’est finalement pas prouvée ; tels atermoiements qui font presque regretter la bonne vieille époque de l’inquisition où il devenait essentiel par tous les moyens de faire sortir le démon.

L’activité économique s’en trouverait beaucoup moins affectée, les sciences entreraient dans l’âge de la sagesse pour pouvoir y rester. Une croissance exponentielle ne signifie pas une croissance infinie. D’ailleurs un échiquier a un nombre de cases limitées. La légende ne nous dit pas si Sissa ben Dahir a donné un délai a son roi pour être récompensé. Ainsi ce chiffre aussi gros soit-il est atteint et même dépassé au fil du temps pour autant et aussi longtemps qu’on récolte le fruit de notre labeur au fil des années.

— Aux échecs : un fou a-t-il le pouvoir de prendre son roi ?

Répondre

Gouverner en se basant sur la science

Plusieurs se surprennent encore des efforts et des restrictions déployées pour ralentir la propagation du coronavirus alors que moins d’une centaine de cas ont été détectés au Québec. C’est très mal comprendre le mécanisme de contagion qui progresse d’une manière exponentielle.

La science de l’épidémiologie est claire, il faut agir rapidement avant d’être complètement débordé. En l’absence d’un vaccin efficace, les mesures d’hygiène de base (se laver les mains, tousser dans son coude…) et de distanciation sociale sont les seules capables de ralentir la propagation exponentielle de la maladie.

Le gouvernement du Québec sait très bien où il s’en va, en se basant sur la science.

Nous sommes dans une course contre un autre phénomène à croissance exponentielle qui est la dégradation de l’environnement et du climat. Évidemment, il se situe sur une période beaucoup plus longue, on parle ici d’années et de décennies, pas de jours ou de semaines comme pour une épidémie, mais notre temps de réaction se mesure également en années et en décennies. Le problème est que nous risquons de manquer de temps face à cet autre phénomène en évolution exponentielle.

Pour comprendre il suffit de réfléchir deux secondes à un troisième phénomène en croissance exponentielle… Soit l’absurdité d’une croissance économique exponentielle dans un système fermé comme notre Terre. Mais après avoir réfléchi il faut agir. C’est là que cela se complique.

Quand des milliers de scientifiques annoncent une catastrophe, arrêtons le déni et agissons.

Scientifiquement vôtre

Claude COULOMBE

« D’abord ils vous ignorent. Ensuite ils vous ridiculisent. Et après, ils vous attaquent et veulent vous brûler. Mais ensuite, ils vous construisent des monuments. » – Nicholas Klein 1919 (parfois faussement attribué à Gandhi)

P.-S.: Pour contrecarrer l’angoisse du COVID-19, rien de mieux que de passer à l’action. J’ai donc partagé un petit carnet web Python qui permet de comparer les stratégies de différents pays pour ralentir la progression de la pandémie du COVID-19. Pour ceux que la science intéresse (http://bit.ly/38OQPdc)

Cher Monsieur Drouginsky,

Mon billet m’était pas une réponse à votre commentaire par ailleurs fort pertinent.
Erreur d’insertion… 😉
Agréez mes salutation au passage

Claude COULOMBE

@ Cher monsieur Coulombe,

J’ai bien compris que vos commentaires ne s’adressaient pas spécifiquement à moi….

Pour compléter vos propos, j’ajouterai qu’il est possible de suivre les données sur la progression du virus à la page suivante :
https://www.lemonde.fr/les-decodeurs/article/2020/02/27/en-carte-visualisez-la-propagation-mondiale-de-l-epidemie-de-coronavirus_6031092_4355770.html

Cela exploite très précisément les données initiales dont vous faites mention.

J’aimerais puisque vous en parlez, en profiter pour préciser que la croissance économique est devenue exponentielle essentiellement depuis la fin de la seconde guerre mondiale et la courbe a commencé à croitre avec l’avènement de l’industrie (milieu du 19ième siècle) qui correspond également avec le capitalisme. Néanmoins, il convient de préciser que la croissance exponentielle de l’économie suit presque parfaitement la croissance exponentielle de la population mondiale.

Lorsqu’observée par pays, il est possible de remarquer que le taux de croissance est d’autant plus élevé que le point de départ est bas. Au fil du temps, il y a stabilisation.

Le bât blesse essentiellement dans le mode de répartition de la richesse comme quelques éminents économistes l’ont depuis quelques années fait remarquer. Paradoxalement ce déséquilibre influe sur la démographie qui baisse dans les pays riches et augmente dans les économies émergentes.

Les mathématiques seraient certainement très utiles pour modéliser des courbes de développement qui respectent les ressources de la Terre, les ressources humaines, une démographie équilibrée, etc…. Et comme beaucoup de choses sont liées finalement, la santé publique s’en trouverait globalement améliorée. On n’éviterait probablement pas toutes les maladies, mais nous apprendrions mieux comment y faire face lorsqu’elles se présentent.

Il n’y a pas à ma connaissance de consensus sur le fait qu’une croissance économique puisse être infinie, un rythme de croissance modéré reste susceptible toutefois de pouvoir s’accomplir de manière plus équilibrée dans la durée. L’accélération n’est justifiée que par le besoin effréné de vouloir constamment maximiser les profits.

Merci d’avoir partagé cet article très intéressant et contenant de belles infographies.
A+
Claude COULOMBE

La fable du nénuphar

J’aimerais partager une autre histoire qui aidera peut-être à comprendre un phénomène exponentiel et l’urgence d’agir avant qu’il ne soit trop tard.

C’est l’histoire d’une colonie de nénuphars qui double de surface chaque jour. On suppose qu’ils occuperont toute la surface de l’étang dans 100 jours et qu’à ce moment toute vie aquatique sera impossible, disons par asphyxie (c’est une fable…).

Pendant plus de 90 jours, rien ne semble se passer. Au jour 90, seulement 1/1000 de l’étang est affecté. Au jour 95, les nénuphars n’occuperont que 3% de la surface de l’étang et on sera tenté de se dire qu’on a bien le temps de réagir à la menace et il sera facile d’arracher ces quelques nénuphars envahissants. Au jour 96, 6% de la surface sera occupée et au jour 97, 13%. Hum… cela commence à faire beaucoup de nénuphars à arracher. Mais, c’est un vendredi et on se dit qu’on s’occupera du problème sans faute après une bonne fin de semaine de repos…

Mais lundi, au jour 100, c’est la fin! Il est trop tard!

Scientifiquement vôtre

Claude COULOMBE

« D’abord ils vous ignorent. Ensuite ils vous ridiculisent. Et après, ils vous attaquent et veulent vous brûler. Mais ensuite, ils vous construisent des monuments. » – Nicholas Klein 1919 (parfois faussement attribué à Gandhi)

Répondre

Le phénomène que vous décrivez existe effectivement, il y a un mot savant pour le décrire : L’eutrophisation. Mais… ce phénomène est très rarement lié aux nénuphars qui savent limiter leur expansion, il est principalement lié à la pollution….

Le développement de l’algue verte qui prive certains plans d’eaux d’oxygène est bien connu au Québec. La raison est aussi connue : le déversement d’azote dans les cours d’eau, provenant essentiellement de l’agriculture. Encore un excellent moyen pour maximiser les profits dans la pétrochimie…. Tout est lié.

Je ne suis pas mathématicien, et loin de moi l’idée de critiquer le travail du journaliste qui a rédigé cet article que j’ai trouvé des plus intéressants et des plus pertinents. Seulement voilà, je l’ai partagé avec un de mes amis mathématiciens, et voici ce qu’il m’a répondu. Sa logique me semble implacable…

« En tant que mathématicien qui porte un certain intérêt aux échecs (le jeu :-), je n’ai pas le choix de connaître cette légende depuis des décennies. Mais je n’ai pas raffolé de l’article, pour plusieurs raisons.

Commençons par l’exposition de la légende elle-même. La photo d’Éros ressemble à une grosse patate; sans référence on n’a aucune idée de quelle grosseur ça représente. Il y a une comparaison entre Éros et l’Everest: on sait tous que l’Everest est très grand mais en même temps il est difficile de s’imaginer une montagne de blé de cette taille. J’aurais préféré quelque chose de plus facile à comprendre, par exemple que cette quantité de blé correspondait à tant de décennies de production mondiale de l’époque, ou mieux encore ce que ça représenterait de nos jours. Ou encore, combien de silos de blé: si on remplit les silos de blé et qu’on les colle un à côté de l’autre, ça couvre la distance Montréal-Vancouver (je ne sais pas, je dis n’importe quoi, juste pour illustrer ce qui aurait pu être écrit).

L’aspect le plus impressionnant de la progression de la quantité a été passé sous silence. La première rangée totalise 255 grains de blé. Mais la 9e case (1ère case de la 2e rangée) représente à elle seule 256 grains, soit un grain de plus que TOUTES LES CASES PRÉCÉDENTES RÉUNIES. Ceci est vrai de n’importe quelle case : elle représente exactement un grain de plus que toutes les cases précédentes mises ensemble. En particulier, la 64e case représente un grain de plus que les 63 premières cases mises ensemble! Autrement dit, l’inventeur du jeu aurait pu paraître magnanime en disant que finalement il ne garderait que le blé de la dernière des 64 cases, mais ce faisant conserverait quand même la moitié de son butin.

Ceci aide à comprendre à quel point la comparaison entre la croissance exponentielle du blé et les cas de COVID-19 est déconnectée de la réalité. L’article indique que dans son scénario, le Québec serait infecté au complet au 23e jour. Mais ce même modèle mathématique implique également que la veille, seulement la moitié du Québec serait infecté. Autrement dit, ça prendrait 22 jours infecter la moitié du Québec et le dernier jour, chaque personne infectée réussirait à infecter une personne saine? Je dis bien « réussirait » car ce serait un exploit de parvenir à impacter la moitié saine de la population en une journée avec pour seule arme l’autre moitié de la population.

La croissance exponentielle semble réaliste (je dis bien « semble ») dans les débuts, dans la mesure où le nombre de personnes infectés est faible et le nombre de personnes saines est pour ainsi dire illimité en comparaison. Ainsi il est facile pour une personne infectée de « trouver » une personne saine, c’est comme pêcher dans un seau d’eau plein de poissons. Mais à mesure que le nombre de personnes infectées augmente et que le nombre de personnes saines diminue, on arrive à une sorte de point d’inflexion au-delà duquel la croissance exponentielle n’est plus possible. Même en supposant que la population entière finirait par être infectée, le nombre de cas augmenterait de moins en moins vite. En fait, la seconde moitié de la population prendrait (plus ou moins) autant de temps à être infectée que la première… pas une journée. Bref, on verrait ce qu’on appelle une courbe sigmoïde (parce qu’elle est en forme de S) et non pas une courbe exponentielle.

Bien entendu, tout ce discours mathématique suppose qu’on ne fait rien pour contrer l’épidémie, et même l’auteur l’admet. »

Répondre

C’est épeurant si ont se sert de ce jeux d,échec pour d’éterminer ce qui pourrait ce produire et les virus ne disparaîtront jamais il faut avoir des meilleurs comportements de vie entre nous notre croissance et cel des animaux la proximitée entre nous et les animaux c’est qui est l’intrus les animaux sauvages tentent par tout les moyens de survivent et nous augmentont en nombre d’année en année et ont dois s’adapter à cette nouvelle réalitée laisser un endroit pour les animaux et ne pas partager leur territoire oui mais différament,ont apprends de ces virus et ne pas commettre les mêmes erreurs

Répondre